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天天书吧 > 其他类型 > 墨中有白 > 第122章 苏松复习遇到难题
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清晨,教室里已经坐了不少埋头复习的同学。窗外的梧桐树在微风中轻轻摇曳,阳光透过叶片的缝隙,在课桌上投下细碎的光斑。苏松坐在靠窗的位置,面前摊着一本数学练习册,眉头却紧紧皱着,手里的笔悬在草稿纸上,迟迟没有落下。练习册上的函数综合题像是一道无法跨越的鸿沟,题干里的 “不等式约束”“实际应用场景” 等关键词,让他原本清晰的思路瞬间变得混乱。

“你最近在数学上有何困扰?” 一个温柔的声音在耳边响起,白墨端着一杯温热的豆浆,轻轻走到苏松身边,目光落在他面前的练习册上。她注意到苏松已经对着这道题看了快十分钟,手指无意识地摩挲着笔杆,显然是遇到了瓶颈。

苏松抬起头,眼神里带着一丝沮丧,像是找到了宣泄的出口:“函数部分总是让我头疼,尤其是结合不等式和实际应用的题型。你看这道题,说是某工厂生产两种产品,需要根据原料和工时约束求最大利润,既要建立函数模型,又要考虑不等式组的定义域,最后还要用导数求最值,我总是在步骤之间衔接不上,要么漏掉定义域的限制,要么求导后不知道怎么结合实际意义判断极值是否合理。”

白墨在苏松身边的空位坐下,将豆浆递给他,然后从自己的书包里拿出一份装订整齐的错题集。错题集的封面用标签纸写着 “数学函数综合题分类整理”,翻开后,每一页都按 “基础题型”“提升题型”“综合题型” 清晰分类,每道题旁边都用不同颜色的笔标注了错误原因、解题思路和知识点链接。“你看,这些题目是我之前整理的,和你现在遇到的问题很像。” 她指着 “综合题型” 部分,“基础题是函数的基本性质和图像变换,比如求定义域、值域、单调性,这部分你已经掌握得不错了;提升题则是将函数与不等式结合,比如用函数单调性解不等式、求参数范围,这需要你熟练掌握函数和不等式的联系;而综合题则像你现在做的这道,需要结合实际应用,先建立数学模型,再用函数知识解决,这类题的关键是‘先理解题意,再拆解步骤’,不能急于求成。”

苏松接过错题集,仔细翻看着。白墨的字迹工整清晰,每道题的错误原因都分析得十分透彻。比如一道类似的利润最大化问题,她在旁边标注:“易错点:忽略原料和工时的实际限制,导致定义域范围扩大;解题关键:先根据题干列出所有约束条件,画出可行域,再结合函数单调性或导数求最值,最后验证结果是否符合实际意义。” 这些标注像是一把钥匙,瞬间打开了苏松的思路。

“原来如此!我总是把基础题搞懂还不够,更深层次的应用还需要多加练习,尤其是步骤拆解和实际意义的验证。” 苏松恍然大悟,指着错题集中的一道题,“你看这道题,和我现在做的几乎一样,你在解题步骤里特意把‘列约束条件→画可行域→建函数模型→求最值→验证实际意义’分了五步,每一步都写得很详细,我之前就是没有这样系统地拆解,才会在中间步骤出错。”

“其实这类题的本质是‘翻译’,把实际问题中的文字信息‘翻译’成数学语言。” 白墨拿起笔,在草稿纸上为苏松梳理思路,“比如‘原料约束’就是‘某两种原料的消耗量不超过库存量’,可以转化为不等式;‘最大利润’就是‘利润函数在可行域内的最大值’,需要结合函数的性质求解。你可以试着先不看答案,把这道题的题干信息逐条列出来,先列约束条件,再建立利润函数,我们一起看看哪里出了问题。”

苏松按照白墨的建议,拿起笔在草稿纸上逐条记录:“产品 A 每件消耗原料 1kg,工时 2 小时;产品 b 每件消耗原料 2kg,工时 1 小时;原料总量不超过 100kg,工时总量不超过 80 小时;产品 A 每件利润 30 元,产品 b 每件利润 20 元,求最大利润。” 他一边写,一边在心里默念,试图将文字转化为数学符号。

“很好,现在把这些信息转化为不等式。” 白墨在一旁引导,“设产品 A 生产 x 件,产品 b 生产 y 件,x 和 y 都是非负整数(因为产品数量不能为负,也不能是小数),那么原料约束就是 x + 2y ≤ 100,工时约束就是 2x + y ≤ 80,对吗?”

苏松点点头,在草稿纸上写下不等式组:“x ≥ 0,y ≥ 0,x + 2y ≤ 100,2x + y ≤ 80。然后利润函数是 L = 30x + 20y,接下来就是求 L 的最大值。”

“那你现在想想,怎么求这个最大值?” 白墨没有直接给出答案,而是引导苏松自己思考。

苏松皱着眉,回忆着课堂上老师讲的方法:“可以用线性规划的方法,先画出可行域,找到顶点,再将顶点坐标代入利润函数,比较得出最大值。不过之前老师也说过,对于二元一次函数,最大值通常在可行域的顶点处取得。”

“没错,那你试着画出可行域,找到顶点坐标。” 白墨鼓励道。

苏松拿起直尺,在草稿纸上画出直角坐标系,先画出 x + 2y = 100 和 2x + y = 80 两条直线,然后根据不等式确定可行域的范围,最后找到可行域的四个顶点:(0,0)、(0,50)、(20,40)、(40,0)。他将这些顶点坐标代入利润函数 L = 30x + 20y,计算得出:当 x=20,y=40 时,L = 30x20 + 20x40 = 600 + 800 = 1400 元,是最大值。

“算出来了!最大利润是 1400 元!” 苏松兴奋地说道,之前的沮丧一扫而空,眼神里重新充满了光芒。

“你看,只要拆解步骤,一步一步来,其实并没有那么难。” 白墨笑着说,“你之前之所以觉得难,是因为没有把实际问题和数学知识很好地结合起来,总是急于求成,忽略了中间的拆解过程。接下来一周,每天早晨来教室补做两道综合题怎么样?我已经帮你整理好了类似的题目,从简单到复杂,每天做完后我们一起分析,找出问题所在。这样不仅能查漏补缺,还能逐渐提升自己的解题速度和准确率。”

苏松接过白墨递来的另一张纸条,上面列着一周的练习计划,每天两道题,题目难度循序渐进,每道题后面都标注了对应的知识点和易错点。他看着纸条上工整的字迹,又看了看白墨温柔的笑容,心里涌起一股暖流。“谢谢你的帮助,白墨。之前我总是因为遇到难题就退缩,现在有你在身边引导,我好像没那么害怕了。我相信这次二模考试一定能考出理想的成绩。”

“其实你很聪明,只是有时候需要有人帮你梳理思路。” 白墨看着苏松,眼神里满是认可,“数学学习就像走迷宫,有时候会遇到岔路,但只要耐心寻找线索,总能找到出口。以后遇到难题,不要一个人闷在心里,我们可以一起讨论,互相启发。对了,我这里还有一份函数与不等式结合的知识点总结,里面有很多解题技巧和常见模型,你可以拿去参考,遇到不懂的地方随时问我。”

她从书包里拿出一本笔记本,翻开其中一页,上面总结了 “函数单调性与不等式的关系”“导数与不等式证明”“实际应用中的函数建模方法” 等内容,每个知识点下面都配有例题和解析。苏松接过笔记本,小心翼翼地放进自己的书包里,像是珍藏一件宝贵的礼物。

接下来的几天,苏松按照白墨的计划,每天早晨提前半小时来到教室,认真做两道函数综合题。遇到不懂的地方,他就先标记出来,等白墨来了一起讨论。白墨也总是耐心地为他讲解,从题干分析到步骤拆解,从知识点链接到易错点提醒,每一个细节都不放过。有时候,苏松会因为一道题的思路和白墨产生分歧,两人就会各自在草稿纸上演算,然后对比结果,找出差异所在,在讨论中加深对知识点的理解。

有一次,苏松在做一道关于 “成本控制” 的函数综合题时,对 “固定成本” 和 “可变成本” 的区分产生了疑惑,导致函数模型建立错误。白墨没有直接告诉他答案,而是举了一个生活中的例子:“比如你买一台打印机,打印机的价格是固定成本,不管你打印多少张纸,这部分成本都不会变;而打印纸的价格是可变成本,打印的纸张越多,可变成本越高。这道题里的‘设备折旧’就是固定成本,‘原材料消耗’就是可变成本,你再结合题干信息,试试重新建立模型。”

苏松听了白墨的例子,瞬间豁然开朗,很快就纠正了之前的错误,顺利完成了题目。“原来结合生活例子,这么容易理解!” 他兴奋地说,“之前我总是把自己局限在数学公式里,忽略了实际意义,现在才明白,数学其实和生活息息相关。”

“是啊,数学来源于生活,也应用于生活。” 白墨笑着说,“尤其是这类实际应用题型,只要你多联系生活实际,理解题干的含义,就能轻松建立模型。以后做题的时候,不妨多想想‘这道题讲的是什么生活场景’,或许会有不一样的收获。”

随着时间的推移,苏松在函数综合题上的进步越来越明显。之前需要花十分钟才能理清思路的题目,现在五分钟就能完成,而且准确率也大大提高。他不再像以前那样害怕遇到综合题,反而会主动挑战难度更高的题目,遇到问题也能冷静分析,独立解决。

二模考试前一天,苏松和白墨一起在教室复习。苏松拿出自己这一周做的函数综合题,整齐地装订在一起,每道题旁边都标注了详细的解题思路和易错点。“你看,这是我这一周的成果,一共十四道题,只有两道题因为粗心犯了小错,其他都做对了。” 他的眼神里满是自豪,“如果不是你帮我梳理思路,制定计划,我肯定还是会像之前一样迷茫。”

白墨看着苏松的成果,脸上露出了欣慰的笑容:“这都是你自己努力的结果,我只是帮你找到了适合自己的学习方法。明天考试的时候,不要紧张,就像平时练习一样,认真读题,仔细演算,相信自己一定可以。”

苏松点点头,心里充满了信心。他知道,这次二模考试,他不仅要考出理想的成绩,更要对得起自己这段时间的努力,对得起白墨的帮助和陪伴。

夕阳西下,教室里的灯光渐渐亮起。苏松和白墨一起收拾好复习资料,并肩走出教室。吹在身上的晚风带着一丝凉爽,吹在脸上格外舒服。两人聊着明天的考试,聊着未来的计划,偶尔相视一笑,不需要太多的言语,却能感受到彼此心中的温暖。苏松看着身边的白墨,心里暗暗下定决心:以后不管遇到什么困难,都要像现在这样,勇敢面对,而白墨,永远是他前进路上最温暖的光。